芝诺悖论：你能追上乌龟吗？

　　阿基里斯是古希腊神话中的跑步健将。假设他和乌龟赛跑，他的速度为乌龟的10倍，乌龟在其前面10m处出发，他在后面追。芝诺可以证明，阿基里斯永远不可能追上乌龟！当阿基里斯追到10m时，乌龟已经向前爬了1m；而当他追过这1m时，乌龟又已经向前爬了0.1m，他只能再追向那个0.1m。因为追赶者需要用一段时间才能达到被追者的出发点，这段时间内被追者已经又往前走了一段距离，所以被追者总是在追赶者前面。这样，阿基里斯就永远也追不上乌龟！这个悖论的问题出在哪儿呢？乍一看，其逻辑推理确实是无懈可击的，但实际上这个推理建立的基础是：时间和空间是可以无限分割的。因为芝诺将追赶的过程分成了无穷多个部分，到后来阿基里斯与乌龟的距离无穷小，追上这段距离所需的时间也无穷小。如果时空真能无限分割，那么他就永远也追不上。数学家们是这么解释的：阿基里斯虽然需要追赶无穷多段路程，每一段路程也需要一定时间，但这无穷多个时间构成的是收敛数列，也就是说，这个无穷数列的总和是有限的。假设阿基里斯速度是10m/s，则这无穷多个时间的总和是10/9s，即，但是数学家们显然回避了另一个问题，就是阿基里斯如何在有限的时间里完成这无穷多个过程？只要是无穷，那就没有尽头，他怎么能一眨眼间就完成了呢？玄而又玄的无穷事实上，问题就出在这个无穷上。无穷大和无穷小都是数学中制造出来的很玄虚的概念，很多悖论都是在此基础上产生的。为什么说无穷大和无穷小很玄虚呢？我们来看看下面的例子。正整数有无穷多个，正整数的平方也有无穷多个，即，那么到底是正整数多呢，还是它们的平方数多呢？数学家们认为它们是一样多的，因为上下两列数字建立了一一对应关系。可是从另一个角度看，平方数明明只是正整数的一部分，平方数应该远远少于正整数啊。从这个角度来看，平方数只和正整数中的一小部分建立了一一对应关系，即，这两个数列都包含无穷多个数，也就是说它们的个数都是无穷大，那么这两个无穷大到底是什么关系呢？真是让人困惑。无穷小也很玄虚。无穷小到底是多小？无穷小加无穷小是多少，无穷小乘无穷小呢，都是无穷小吗？多少个无穷小相加才能不是无穷小呢？恐怕谁也说不清楚。造成上述糊涂账的原因就在于，无穷大和无穷小都是人们头脑中想象出来的东西，在真实世界中是不存在的！事实上，人人都知道阿基里斯很快就能追上乌龟，既然如此，那就证明芝诺悖论的基础是错的，也就是说，他不能将追赶的过程分成无穷多个部分，时间和空间是不能无限分割的，或者说，时间和空间是不连续的！