纳什平衡：混合策略平衡点

我们所说的纯策略(纯策略是指参与者在其策略空间中选择的唯一确定的策略)是否存在纳什平衡点？答案是否定的。除了上述多次熟悉的纯战略平衡点外，一些游戏没有确定的唯一策略，但会有一个混合策略（混合策略是指参与者采取的概率分布，而不是确定的唯一策略）。以警察和小偷的博弈为例，我们将解释混合策略的平衡点。一个小镇只有一名巡逻警察，他独自负责全镇的治安秩序。假设小镇主要分为A、B两区，A区内有一家建设银行，B区内有一家金银首饰店。假设这个小镇上有个小偷，就要偷这个镇。警察一次只能在一个地区巡逻，因为没有分手术；对于小偷来说，一次只能去一个地方偷东西。假设A区建设银行需要保护的财产为2万元，B区珠宝店的财产价值为1万元。如果警察在A区巡逻，小偷碰巧选择去那里，他们会当场被警察抓住，该区建设银行的2万元财产不会损失；如果警察在A区巡逻，小偷选择去B区，因为没有警察的保护，小偷成功盗窃，B区珠宝店1万元财产将分文不剩，落入小偷口袋。在这种情况下，警察如何巡逻才能达到最佳效果？如果按照之前的想法——只能选择一个确定的策略，很明显警察在A区巡逻，可以保留该区建设银行2万元的财产不被盗。小偷去B区，偷窃一定会成功，B区珠宝店1万元财产归小偷所有。也就是说，警察的收入是2万元，小偷的收入是1万元。但这是警察的最佳策略吗？有没有更好的策略可以改进？如果警察在A区或B区巡逻，小偷只是选择去A区或B区，那么小偷就不能实施盗窃。此时，警方的收益为3（保留A区建设银行和B区珠宝店共3万元），小偷的收益为0（无收入），并记录（300）。如果警察在A区巡逻，小偷去B区盗窃，此时警察的收益为2（保留A区建设银行2万元财产），小偷的收益为1（B区珠宝店1万元财产成功盗窃），记录（2、1）。如果警察在B区巡逻，小偷去A区盗窃，此时警察的收益为1（保留B区珠宝店1万元财产），小偷的收益为2（成功盗窃A区建设银行2万元财产），记录（1、2）。警察和小偷之间的支付可以写成以下支付矩阵：通过以上分析，我们可以得出这个游戏没有纯战略纳什平衡点，而是有混合战略平衡点。在混合战略平衡点下，双方的战略选择是其最佳战略选择。此时，警察的最佳选择之一是，警察决定去A区巡逻或B区巡逻。由于A区建设银行的财产价值是B区珠宝店的两倍，用两个签名(如1、2)代表A区巡逻，一个签名(如3)代表B区巡逻。抽1号、2号签，去A区巡逻；抽3号签，去B区巡逻。这样，警察就有2/3的机会去A区巡逻，1/3的机会去B区巡逻，这与巡逻地的财产价值成正比。小偷的最佳选择是以同样的抽签方式决定是去A区还是B区，但与警方相反，小偷抽到1号和2号去B区，抽到3号去A区。然后，小偷有三分之一的机会去A区，三分之二的机会去B区。警察和小偷采取的策略是混合策略。根据上述混合策略，警方的总预期收入为7/3万元，与只有巡逻A区才能获得2万元万元的收入明显改善。原因如下:警察在A区巡逻时，小偷有1/3的机会在A区偷窃，2/3的机会在B区偷窃。此时，警察在A区巡逻的预期收入为7/3(1/3)×3 2/3×2=7/3）万元。警察在B区巡逻时，小偷也有1/3的机会在A区偷窃，2/3的机会在B区偷窃。此时，警察在B区巡逻的预期收入为7/3(1/3×1 2/3×3=7/3）万元。警察的总预期收入为7/3(2/3×7/3 1/3×7/3=7/3）万元。同样，我们也可以得出结论，小偷采取混合策略的总预期收入是2/3万元，这比只偷B区的策略(前提是警察只巡逻A区)。当游戏一方的收入失去另一方时，对于游戏双方的任何一方来说，只有混合策略是平衡的，而不是纯粹的策略。